Ponto médio

Teoria e Exercícios sobre Equações Exponenciais.

 

GOVERNO DO ESTADO DE SANTA CATARINA

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

ESCOLA DE ENSINO MÉDIO DITE FREITAS- TUBARÃO/SC

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS.

Vídeos explicativos:

https://www.youtube.com/watch?v=7EPKmS68KT0

https://www.youtube.com/watch?v=yrlbk27W9Bc

Uma equação é exponencial quando a incógnita (valor desconhecido) está no expoente de uma potência. Assim, uma sentença matemática que envolve a igualdade entre dois termos, onde a incógnita aparece em pelo menos um expoente, é denominada equação exponencial. Uma potência é o resultado do produto de sua base por ela mesma, tantas vezes quanto determinado pelo expoente.

Em uma equação exponencial determinamos quantos fatores são multiplicados, ou seja, quantas vezes a base se multiplica, a fim de obtermos um determinado resultado.

Definição de equação exponencial:

Onde:

b é a base;
x é o expoente (incógnita);
a é a potência.

Em que e .

Exemplo de equação exponencial:

A variável desconhecida está no expoente. Devemos determinar quantas vezes o 2 irá se multiplicar para resultar em 8. Como 2 . 2 . 2 = 8, x = 3, pois o 2 deve se multiplicar três vezes para obtermos 8 como resultado.

Como resolver equações exponenciais

As equações exponenciais podem ser escritas de várias formas e para resolvê-las, utilizaremos que potências iguais de bases iguais, obrigatoriamente também possuem os mesmos expoentes.

Como a função exponencial é injetiva, temos:

Isto significa que duas potências com a mesma base serão iguais se e somente se seus expoentes também forem iguais. Assim, uma estratégia para resolver equações exponenciais é igualar as bases das potências. Uma vez que as bases estejam iguais, podemos eliminá-las e comparar os expoentes.

Para igualar as bases das potências em uma equação exponencial, utilizamos ferramentas matemáticas como a fatoração e as propriedades da potenciação.

Exemplos de resoluções de equações exponenciais

Exemplo 1

Se trata de uma equação exponencial, pois a sentença envolve uma igualdade (equação) e, a variável desconhecida x está no expoente (exponencial).

Para determinar o valor da incógnita x, igualamos as bases das potências, usando a fatoração do 64.

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ou

Substituindo na equação:

Desconsideramos as bases, restando apenas a igualdade entre os expoentes.

x = 6

Assim, x = 6 é o resultado da equação.

Exemplo 2

Igualamos as bases utilizando fatoração.

• 9 = 3 . 3 =

• 81 = 3 . 3 . 3 . 3 =

Substituindo na equação:

Utilizando a propriedade de potência de uma potência, multiplicamos os expoentes do lado esquerdo.

Com as bases igualadas podemos descartá-las e igualar os expoentes.

Assim, x = 1 é o resultado da equação.

Exemplo 3

Transformamos a base 0,75 em uma fração centesimal.

Simplificamos a fração centesimal.

Fatoramos o 9 e o 16.

Igualando as bases, temos que x = 2.

x = 2

Exemplo 4

Transformamos a raiz em uma potência.

Fatoramos as bases das potências.

Multiplicando os expoentes, igualamos as bases.

Logo, temos que:

Exemplo 5

Fatorando o 25

Reescrevemos a potência de 5² elevado a x. Mudando a ordem dos expoentes.

Utilizamos uma variável auxiliar, que chamaremos de y.

(guarde esta equação, vamos usá-la logo a frente).

Substituindo na equação anterior.

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

O conjunto solução para a equação do segundo grau é {1, 5}, no entanto, essa não é a solução da equação exponencial. Devemos voltar para a variável x, usando

Para y = 1:

Para y = 5:

O conjunto solução para a equação exponencial é S={0, 1}.

EXERCÍCIOS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS.

Com esta lista de exercícios, você avaliará seus conhecimentos sobre a equação exponencial, isto é, a equação que possui incógnita no seu expoente.

Questão 1

O valor de x que faz a equação ?

Questão 2

Analise a equação a seguir:

Questão 3

Encontre o valor de x na equação:

Questão 4

O conjunto de soluções da equação exponencial .

Questão 5

O montante de determinado capital em um fundo de investimento, após o tempo t em anos, é dado pela fórmula. Nessas condições, o tempo necessário para que um capital de R$ 800 investido gere um montante de R$ 4050 é de:

Questão 6

A quantidade de bactérias de uma cultura, depois de t horas, é dada pela expressão , em que Q0  é a quantidade inicial de bactérias. Nessas condições, se inicialmente havia 1500 bactérias, após quantas horas haverá 12.000 bactérias?

Questão 7

Durante um experimento, obteve-se a fórmula para a população de bactérias: . Em que t é o tempo, em hora, e q(t) é a população, em milhares de bactérias. Se a população de bactérias era inicialmente de 20 mil, então após quanto tempo ela será dobrada?

Questão 8

Sabendo que , o valor de y que faz com que x seja igual a y é:

Questão 9

Dada a equação exponencial , a soma das soluções dessa equação é:

Questão 10

(Enem 2020) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5730 anos, haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: , em que t é o tempo, medido em anos, Q(t) é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.

Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela, temos esses valores juntamente à quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.

O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi:

Resumindo: